\section{Ejercicio N 1}

En una sastrería hay una sección de arreglo y reforma de la ropa vendida a sus clientes, que es atendida por un sastre. El número de clientes que requieren arreglos arriban a dicha sección con una distribución Poisson con una media de 24 clientes por hora.

Debido a que el servicio es gratuito, todos los clientes están dispuestos a esperar el tiempo que sea necesario para poder utilizarlo. El tiempo de atención es en promedio de 2 minutos por cliente, siendo exponencial la distribución de los tiempos de servicio. Calcular:

\begin{enumerate}
  \item ¿Cuál es en promedio, el número de clientes en la sección?
  \item ¿Cuánto tiempo permanece, en promedio, un cliente en la sección?
  \item ¿Cuál es la probabilidad de que el sastre esté desocupado?
  \item ¿Cuál es en promedio, el número de clientes que están esperando recibir el servicio?
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoDatos
\begin{itemize}
  \item $ \lambda = 24\: \,  \frac{cliente}{hora} $ (distribución Poisson)
  \item $T_{s}  = 2\: \,  \frac{minuto}{cliente} \Rightarrow \mu = 30 \: \,  \frac{cliente}{hora}$ (distribución exponencial)
\end{itemize}

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $L$
  \item $W$
  \item $P(n=0)$
  \item $L_{c}$
\end{itemize}

\comandoHipotesis
\begin{enumerate}
  \item Los arribos tienen distribución Poisson
  \item La realización del servicio tienen distribución Poisson
  \item El sistema tiene un único canal de atención
  \item El sistema tiene capacidad infinita
  \item La disciplina de atención es FIFO
  \item La población es infinita
  \item Se forma una única cola frente al canal
  \item Los clientes no presentan el fenómeno de impaciencia
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables
\end{enumerate}

En conclusión, es un P/P/1.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.7]{ejercicio01}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 1}
  \end{center}
\end{figure}

\comandoResolucion

\begin{enumerate}[\bfseries 1)]

\item Como es un P/P/1, vale la igualdad:

\[L = \frac{\lambda }{\mu -\lambda } \]

Reemplazando por los datos nos queda:

\[ L = \frac{24\: \,  \frac{cliente}{hora} }{30 \: \,  \frac{cliente}{hora} - 24\: \,  \frac{cliente}{hora} } = 4\: \,  (cliente) \]

\[ \boxed{L = 4\: \,  (cliente)} \]

\item Como es un P/P/1, vale la igualdad:

\[W = \frac{1}{\mu -\lambda }\]

Reemplazando por los datos nos queda:

\[ W = \frac{1}{30 \: \,  \frac{cliente}{hora} - 24\: \,  \frac{cliente}{hora} } = \frac{1}{6} \frac{hora}{cliente} \]

\[ \boxed{W = \frac{1}{6} \frac{hora}{cliente} \approx 0,17 \frac{hora}{cliente} } \]

\item Como es un P/P/1, vale la igualdad:

\[ P(0) = 1 - \rho = 1 - \frac{\lambda }{\mu } \]

Reemplazando por los datos nos queda:

\[ P(0) = 1 - \rho = 1 - \frac{24\: \,  \frac{cliente}{hora} }{30 \: \,  \frac{cliente}{hora} } = \frac{1}{5} \] 

\[ \boxed{P(0) = \frac{1}{5} = 0,2 } \]

\item Aplicando la fórmula universal:

\[L_{c} = \frac{\lambda^2}{\mu*(\mu -\lambda) }\]

Reemplazando por los datos nos queda:

\[ L_{c} = \frac{(24\: \,  \frac{cliente}{hora})^ 2 }{30 \: \,  \frac{cliente}{hora} * (30 \: \,  \frac{cliente}{hora} - 24\: \,  \frac{cliente}{hora} ) } = \frac{48}{15} \: \,  (cliente)\]

\[ \boxed{L_{c} = \frac{48}{15} \: \,  (cliente) = 3,2\: \,  (cliente)} \]

\end{enumerate}
